Si possono sentire le forme di alcuni tamburi? Alcuni risultati positivi per il problema spettrale inverso

Abstract

Nel 1966, il matematico polacco-americano Mark Kac pubblicò sull'American Mathematical Monthly un famoso articolo, il cui titolo era piuttosto semplice, anche se strano: "Si può sentire la forma di un tamburo?". Con questo titolo provocatorio Kac sollevava un'interessante questione nel campo della Geometria Spettrale: se due domini planari hanno lo stesso spettro, sono identici a meno di moti rigidi del piano? Poiché gli autovalori nello spettro sono le frequenze di risonanza delle onde acustiche all'interno del dominio, la questione può essere interpretata anche in modo fisico come segue: se una persona con un orecchio perfetto sente ma non vede un tamburo, è possibile per lei dedurre la forma precisa del tamburo solo ascoltando il tono fondamentale e tutti gli ipertoni? Alla domanda di Kac è stata data una risposta negativa solo 26 anni dopo, ma rimangono ancora molti problemi aperti.

In questa tesi ci proponiamo di discutere alcuni risultati positivi per il problema spettrale inverso. In primo luogo, sviluppiamo la teoria degli operatori necessaria per comprendere lo spettro del Laplaciano; quindi, dopo aver dato uno sguardo alla storia della domanda di Kac e a come è stata risolta, raccogliamo e discutiamo le principali tecniche utilizzate nei problemi spettrali inversi, per dimostrare che si può effettivamente ascoltare la forma di alcuni tamburi, come quello rettangolare, rotondo e altri di forma poligonale.